【中・高数学】f(xy)=f(x)+f(y)を満たす関数

問題

$ f(xy)=f(x)+f(y)を満たす関数を求めよ。

解答

まず，$ f(1)=f(1\cdot1)=f(1)+f(1)により$ f(1)=0である。

次に，$ f(x)の微分を考える。

$ f’(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}

ここで，$ h=\delta xとおく。（この変換で以下の式が成り立つかは，数学的に丁寧な説明が必要と思われるが無視）

$ f’(x)=\lim_{\delta\rightarrow 0}\frac{f(x(1+\delta))-f(x)}{\delta x}=\lim_{\delta\rightarrow 0} \frac{f(x)+f(1+\delta)-f(x)}{\delta x}

$ = \lim_{\delta\rightarrow 0} \frac{f(1+\delta)}{\delta x} = \frac{1}{x} \lim_{\delta\rightarrow 0}\frac{f(1+\delta)}{\delta}

$ f(1)=0なので，

$ f’(x) = \frac{1}{x} \lim_{\delta\rightarrow 0}\frac{f(1+\delta)-f(1)}{\delta} = \frac{1}{x} f'(1)

ここで，$ f'(1)=aとすると

$ f'(x)=\frac{a}{x}

となる。よって，

$ f(x)=a \log(x) +C

ここで，$ f(1)=0なので，$ C=0であり，$ f(x)=a\log xとなる（$ aは実数）。